Question

探索、研究：
仪器箱按如图方式堆放（自下而上依次为第1层、第2层、…），受堆放条件限制，堆放时应符合下列条件：每层堆放仪器箱的个数a_n与层数n之间满足关系式a_n=n²-32n+247，1≤n＜16，n为整数．
（1）例如：当n=2时，a₂=2²-32×2+247=187，则a₅=______．
（2）第n层比第（n+1）层多堆放______个仪器箱．（用含n的代数式表示）
（3）如果不考虑仪器箱承受的压力，根据题中条件判断仪器箱最多可以堆放______层．
（4）设每个仪器箱重54N（牛顿），每个仪器箱能承受的最大压力为160N，并且堆放时每个仪器箱承受的压力是均匀的．
  ①若仪器箱仅堆放第1、2两层，则第1层中每个仪器箱承受的平均压力为______N．
  ②在确保仪器箱不被损坏的情况下，仪器箱最多可以堆放______层．

Answer

（1）把n=5代入n2-32n+247进行计算即可；
（2）分别计算an+1与an，然后计算出它们的差；
（3）an=n2-32n+247=（n-16）2-9≥0，即可得到n=12，即仪器箱最多可以堆放的层数；
（4）①第1层中每个仪器箱承受的平均压力=；
②第2到第五层共有594个仪器箱，则可计算出第1层中每个仪器箱承受的平均压力为148.5＜160，可判断最多可以堆放 5层．
【解析】
（1）a5=52-32×5+247=112；

（2）an+1-an=n2-32n+247-[（n+1）2-32（n+1）+247]=31-2n；

（3）an=n2-32n+247=（n-16）2-9≥0，
当n=19或n=13，a=0，
∴仪器箱最多可以堆放12层；

（4）①第一层有216块，
∴第1层中每个仪器箱承受的平均压力==46.75（N）；
②a1=216，a2=187，a3=160，a4=135，a5=112，
∴第1层中每个仪器箱承受的平均压力=≈148.5＜160，
所以仪器箱最多可以堆放 5层．
故答案为112；（31-2n）；12；46.75；5．