Question

已知抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）与x轴交于不同的两点A（x₁，0）和B（x₂，0），与y轴的正半轴交于点C．如果x₁、x₂是方程x²-x-6=0的两个根（x₁＜x₂），且点C的坐标为（0，3）．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）请直接写出直线AC和BC的解析式；
（3）如果P是线段AC上的一个动点（不与点A、C重合），过点P作直线y=m（m为常数），与直线BC交于点Q，则在x轴上是否存在点R，使得以PQ为一腰的△PQR为等腰直角三角形？若存在，求出点R的坐标；若不存在，请说明理由；
（4）设直线y=kx+2k（k＞0）与线段OC交于点D，与（1）中的抛物线交于点E，若S_△CDE=S_△AOE，请直接写出点E的坐标．

Answer

（1）先求出A、B两点坐标，再将A、B、C三点坐标代入即可求得抛物线的解析式；
（2）根据将A、B、C三点坐标即可写出直线AC和BC的解析式；
（3）根据题中已知条件可知PQ∥AB，结合三角形相似的性质求出m的值，点P在直线AC上，即可求出P点坐标和Q点坐标，进而求得R点坐标；
（4）根据三角形面积相等的性质便可直接写出点E的坐标．
【解析】
（1）解方程x2-x-6=0，
得x1=-2，x2=3，
∴A（-2，0），B（3，0），
将A、B、C三点坐标代入抛物线y=ax2+bx+c，
，
解得，
∴抛物线的解析式为y=-x2+x+3，

（2）直线AC的解析式：；（4分）
直线BC的解析式：y=-x+3．（5分）（6分）

（3）存在满足条件的点R，并设直线y=m与y轴的交点E（0，m），
由（1）知：|AB|=5，|OC|=3，
∵点P不与点A、C重合，
∴点E（0，m）不与点O、C重合．
∴0＜m＜3，由于PQ为等腰直角三角形PQR的一腰，
过点P作PR1⊥x轴于点R1，则∠R1PQ=90°，
|PQ|=|PR1|=|OE|=m，
∵PQ∥AB，
∴△CPQ∽△CAB．
∴，
即
解得m=，
∴P（xP，），Q（xQ，），
∵点P在直线AC上，
∴xP+3=，
解得xP=，
P（-，），
∴点R1（-，0）．
过点Q作QR2⊥x轴于点R2，则∠R2QP=90°，
同理可求得xQ=，Q（，）．
∴点R2（，0），
所以存在满足条件的点R，他们分别是R1（-，0），R2（，0）；

（4）E（2，2）．（14分）