Question

已知：如图，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、DC边上的点，且AE⊥EF于点E．
（1）延长EF交正方形ABCD的外角平分线CP于点P，试判断AE与EP的大小关系，并说明理由；
（2）在AB边上是否存在一点M，使得四边形DMEP是平行四边形？若存在，请给予证明；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）在AB上取BN=BE，连接EH，根据已知及正方形的性质利用ASA判定△AHE≌△ECP，从而得到AE=EP；
（2）先证△DAM≌△ABE，进而可得四边形DMEP是平行四边形．
（1）结论：AE=PE．理由如下：（1分）
在AB上截取BN=BE．（2分）
∵四边形ABCD为正方形，∴AB=BC，∠B=90°．
∴AN=EC，∠1=∠2=45°．
∴∠4=135°．
∵CP为正方形ABCD的外角平分线，
∴∠PCE=135°．∴∠PCE=∠4．
∵∠AEP=90°，∴∠BEA+∠3=90°．
∵∠BAE+∠BEA=90°，∴∠3=∠BAE．
∴△ANE≌△ECP．
∴AE=EP．（3分）

（2）【解析】
存在点M使得四边形DMEP是平行四边形．（4分）
理由如下：过点D作DM∥PE，交AE于点K，交AB于点M，连接ME、DP．（5分）
∴∠AKD=∠AEP=90°．
∵∠BAD=90°，∴∠ADM+∠AMD=90°，∠MAK+∠AMD=90°．
∴∠ADM=∠MAK．
∵AD=AB，∠B=∠DAB，
∴△AMD≌△BEA．（6分）
∴DM=AE．∴DM=EP．
∴四边形DMEP为平行四边形．（7分）