Question

如图，△ABC中，∠BAC=90°，BC的垂直平分线和BC相交于点D，和∠BAC的平分线AE相交于点E，AE和BC相交于点F．求证：DE=BC．

Answer

连接AD．根据题意得∠1=∠C，再由角平分线的性质得出∠2与1的关系，因为DE⊥BC，得出∠2=∠E，从而得出DE=BC．
证明：连接AD．（1分）
∵∠BAC=90°，D是BC的中点，
∴DA=DC=BC．（1分）
∴∠1=∠C．（1分）
又∵AE平分∠BAC，
∴∠CAF=45°．（1分）
∴∠2=45°-∠1．（1分）
又∵∠3=∠FAC+∠C
=45°+∠C，
∵DE⊥BC于点D，
∴∠E=90°-∠3
=90°-（45°+∠C）
=45°-∠C
∴∠2=∠E．
∴DE=AD．
∴DE=BC．