Question

如图，△ABC是等腰直角三角形，AC=BC=2，以斜边AB上的点O为圆心的圆分别与AC、BC相切于点E、F，与AB分别相交于点G、H，且EH的延长线与CB的延长线交于点D，则CD的长为    ．

Answer

先连接OE、OF，由于ACBC是切线，可知∠OEC=∠OFC=90°，又OE=OF，∠C=90°，可证四边形CEOF是正方形，易得OE∥BC，而O是AB的中点，利用平行线分线段成比例定理的推论，可证AE=CE，易求AE=CE=1，即OH=1，利用OE∥CD，可得△OEH∽△BDH，利用相似三角形的性质可求BD，从而易求CD．
【解析】
如右图所示，连接OE、OF，
∵⊙O与AC、BC切于点E、F，
∴∠OEC=∠OFC=90°，OE=OF，
又∵△ABC是等腰直角三角形，
∴∠C=90°，
∴四边形CEOF是正方形，
∴OE∥BC，
又∵O是AB的中点，
∴AE=CE，
又∵AC=2，
∴AE=CE=1，
∴OE=OF=CE=1，
∴OH=1，
∵OE∥CD，
∴△OEH∽△BDH，
∴=，
又∵AB==2，
∴OB=，
∴=，
∴BD=-1，
∴CD=2+BD=+1．