Question

有一张矩形纸片ABCD，已知AB=2，AD=5，把这张纸片折叠，使点A落在边BC上的点E处，折痕为MN，MN交AB于M，交AD于N．
（1）已知BC上的点E，试画出折痕MN的位置，并保留作图痕迹．
（2）若BE=，试求出AM的长．
（3）当点E在BC上运动时，设BE=x，AN=y，试求y关于x的函数解析式，并写出x的取值范围．
（4）连接DE，是否存在这样的点E，使△AME与△DNE相似？若存在，请求出这时BE的长，若不存在，请说明理由．

Answer

（1）连接AE，并作AE的中垂线，交AB与M、交AD与N，即可作出折痕MN；
（2）连接ME，设BM=x，则ME=2-x，由勾股定理可得：BM2+BE2=ME2，即可得方程，解方程即可求得AM的值；
（3）延长NM交CB延长线于G点，由BE=x，令BM=a，即可得a2+x2=（2-a）2，则可求得AM的值，又由△GBM∽△ANM，根据相似三角形的对应边成比例，即可求得y关于x的函数解析式；
（4）若BC上存在点E，要使△AME∽△DNE，则△ABE∽△DEC，由相似三角形的对应边成比例，即可求得BE的值．
【解析】
（1）连接AE，并作AE的中垂线，交AB与M、交AD与N．如图：（3分）

（2）连接ME，如图1，
∵BE=，
设BM=x，则ME=2-x，
由勾股定理可得：BM2+BE2=ME2，
∴2+x2=（2-x）2，
∴2+x2=4-4x+x2，
∴x=，
∴AM=；

（3）延长NM交CB延长线于G点，如图2，
∵BE=x，令BM=a，
则a2+x2=（2-a）2，
a2+x2=4-4a+a2，
∴a=，
∴AM=，
∵AN=y，
∴GB=y-x，
∵△GBM∽△ANM，
∴，
即：，
∴y=，（8分）
∵0＜x≤2，0＜y≤5，
∴5-≤x≤2；（9分）

（4）若BC上存在点E，如图3，使△AME∽△DNE，
∵AM=ME，
∴∠MAE=∠MEA，
又∵EN=ND，
∴∠NDE=∠NED，
∵AD∥BC，
∴∠NED=∠DEC，
要使△AME∽△DNE，
则△ABE∽△DEC，
∴，
∴，
∴x2-5x+4=0，
解得：x1=4（舍去），x2=1，
∴BE=1，存在点E．（12分）