Question

已知⊙O是△ABC的外接圆，⊙O半径为R，AD是△ABC的高，E是 的中点，EF与⊙O切于E，交AC的延长线于F，则下列结论：
①AC•AB=2R•AD；  ②EF∥BC； ③CF•AC=EF•CM； ④．
其中正确的结论是（ ）

A．①②③
B．①③④
C．②③④
D．①②③④

Answer

①连接AO并延长交⊙O于G点，连接CG，则∠GCA=∠ADB=90°，∠G=∠B，证明△ACG∽△ADB，利用相似比证明结论；
②连接OE，由EF为⊙O的切线可知OE⊥EF，由E是 的中点可知OE⊥BC，故结论成立；
③连接CE，证明△ACM∽△EFC，利用相似比证明结论；
④过M点分别作MP⊥AC，MQ⊥AB，由E是 的中点可知AE平分∠BAC，由角平分线的性质得MP=MQ，而∠F=∠PCM，在Rt△PCM和Rt△BDQ中，分别表示sin∠B，sin∠PCM，再求比．
【解析】
①如图1，连接AO并延长交⊙O于G点，连接CG，
∵AG为直径，∴∠GCA=∠ADB=90°，又∠G=∠B，
∴△ACG∽△ADB，∴=，AG=2R，∴AC•AB=2R•AD，①正确；
②如图1，连接OE，
∵EF为⊙O的切线，E为切点，∴OE⊥EF，
又∵E是 的中点，∴OE⊥BC，
∴EF∥BC，②正确；
③如图2，连接CE，
∵EF∥BC，∴∠ACM=∠F，
由弦切角定理可知∠CAE=∠FEC，∴△ACM∽△EFC，
∴=，即CF•AC=EF•CM，③正确；
④如图2，过M点分别作MP⊥AC，MQ⊥AB，垂足为P，Q，
∵E是 的中点，∴AE平分∠BAC，∴MP=MQ，
又∠F=∠PCM，∴在Rt△PCM中，sin∠PCM=sinF=，
在Rt△BDQ中，sinB=，
∴=，④正确．
故选D．