Question

如图，直线y=-x+2与x轴、y轴分别交于A、B点，与的图象交于C、D点，E是点C在x轴上的正投影，若△AOD和△AEC的面积之和为3时，则k的值为    ．

Answer

先求出A、B两个点的坐标，再设C点的坐标为（x1，-x1+2），D点的坐标为（x2，-x2+2）（x1＞x2），联立y=-x+2与，则x1、x2是一元二次方程x2-2x+k=0的两个根，根据方程根的定义及一元二次方程根与系数的关系，并结合已知面积的条件即可求出k的值．
【解析】
∵直线y=-x+2与x轴、y轴分别交于A、B点，
∴A（2，0），B（0，2）．
把y=-x+2代入，整理，得x2-2x+k=0．
设C点的坐标为（x1，-x1+2），D点的坐标为（x2，-x2+2）（x1＞x2），
则x1、x2是一元二次方程x2-2x+k=0的两个根，
∴x1+x2=2，x12-2x1+k=0  ①．
∵△AOD的面积+△AEC的面积=3，
∴×2×（-x2+2）+（x1-2）（x1-2）=3，
∴（-2x2+4+x12-4x1+4）=3，
将①代入上式，得-k+4=6，
∴k=-2．
故答案为-2．