Question

AB是⊙O的直径，BD是⊙O的弦，延长BD到点C，使DC=BD，连接AC，过点D作DE⊥AC，垂足为E．
（1）试判断△ABC的形状，并说明理由；
（2）DE能否与⊙O相切，为什么？

Answer

（1）连接AD，构造直角三角形ADB．由已知条件“DC=BD”、AD⊥BC、以及等腰三角形的“三线合一”的性质判定△ABC是等腰三角形；
（2）连接OD，构造△ABC的中位线OD．利用三角形中位线定理知OD∥AC；然后根据已知条件“DE⊥AC”、平行线的性质知OD⊥DE，即DE为⊙O的切线．
【解析】
（1）△ABC是等腰三角形．
理由：∵AB是⊙O的直径
∴∠ADB=90°（直径所对的圆周角是直角）；
又BD=CD（已知），
∴AD是BC的垂直平分线
∴AB=AC，∴△ABC是等腰三角形；

（2）连接OD．
∵点O、D分别是AB、BC的中点
∴OD∥AC；
∴又DE⊥AC
∴OD⊥DE
∴DE为⊙O的切线．（6分）