Question

操作：小明准备制作棱长为1cm的正方体纸盒，现选用一些废弃的圆形纸片进行如下设计：

纸片利用率=×100%
发现：（1）方案一中的点A、B恰好为该圆一直径的两个端点．你认为小明的这个发现是否正确，请说明理由．
（2）小明通过计算，发现方案一中纸片的利用率仅约为38.2%．请帮忙计算方案二的利用率，并写出求解过程，比较哪种方案中纸片的利用率高．

Answer

（1）连接AC、BC、AB，据每个小正方形的边长为1，可以证得∠ACB=90°，故问题可求．
（2）如图，作辅助线，利用三角形全等和三角形相似对应边成比例，可以分别求得直角三角形的两个直角边的长度，于是问题可求．
【解析】
（1）小明的这个发现正确．
理由：如图1：连接AC、BC、AB，
∵AC=BC=，AB=
∴AC2+BC2=AB2，
∴∠ACB=90°，
∴AB为该圆的直径．
解法二：如图2：连接AC、BC、AB．易证△AMC≌△BNC，
∴∠ACM=∠CBN．
又∵∠BCN+∠CBN=90°，
∴∠BCN+∠ACM=90°，即∠ACB=90°，
∴AB为该圆的直径．

（2）如图3：由题意，可得△ADE≌△EHF（ASA），
∴AD=EH=1．
∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ACB，
∴=，
∴=，
∴BC=8．
∴S△ACB=16．
∴该方案纸片利用率=×100%=×100%=37.5%．
∴37.5%＜38.2%，
故方案一中纸片的利用率高．