Question

设二次函数y=mx²-（2m-1）x+m-2（m＞0）
（1）求证：它的图象与x轴必有两个交点．
（2）设图象与x轴的两个交点为A（x₁，0），B（x₂，0），且（x₁-3）（x₂-3）=5m，求m的值．

Answer

（1）要证明抛物线的图象与x轴有两个交点，即证明△＞0；
（2）根据根与系数的关系，得x1+x2=，x1x2=，结合（x1-3）（x2-3）=5m整体代入求解．
证明：（1）∵△=（2m-1）2-4m（m-2）=4m+1
∵m＞0，∴4m+1＞0
即二次函数的图象与x轴必有两个交点．

【解析】
（2）令y=0，得mx2-（2m-1）x+m-2=0，
由题意得x1+x2=，x1x2=，
又（x1-3）（x2-3）=5m，
∴x1x2-3（x1+x2）+9=5m，
∴+9=5m，
整理得5m2-4m-1=0，
解之得m1=1，m2=-．
∵m＞0，
∴m=-不合题意，舍去．
即所求m的值为m=1．