Question

如图，Rt△ABC中，∠C=90°，CD=6，以CD为直径的⊙O切AB于G，设AG²=y，AC=x．
（1）求y与x的函数关系式，并指出自变量的取值范围．
（2）利用所求出的函数关系式，求当AC为何值时，才能使得BC与⊙O的直径相等？
（3）△ACB有可能为等腰三角形吗？若可能，请求出x的值；若不可能，请说出理由．

Answer

（1）利用勾股定理求出即可；
（2）利用三角形相似的判定得出Rt△OAG∽Rt△BAC，进而得出答案．
（3）由Rt△OAG∽Rt△BAC，当△BAC为等腰三角形时，△OAG也为等腰三角形，进而得出答案．
【解析】
（1）连接OG，则OG⊥AG．
∴AG2=AO2-OG2
即y=（x-3）2-32，∴y=x2-6x（x＞6）

（2）⇒Rt△OAG∽Rt△BAC⇒
即⇒x2-8x=0
因为x≠0x=8．
即当AC=8时，有BC与直径DC相等．

（3）∵Rt△OAG∽Rt△BAC，
故当△BAC为等腰三角形时，△OAG也为等腰三角形，这时必有AG=OG=3．
将y=AG2=32=9代入y=x2-6x得x2-6x-9=0
解得x1=3+3（不符题意，舍去）
所以，当x=3+3时，△ACB为等腰三角形．