Question

如图，在直角坐标系中，⊙C与y轴相切，与直线l相切于点B，与x轴交于点D，C点的坐标为（1，0），直线l过点A（-1，0）．
（1）求直线l的解析式；
（2）在x轴上是否存在一点P，使△PAB是等腰三角形，若存在，请求出P点的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）求过A、B、D三点的抛物线的解析式，并写出顶点坐标．

Answer

（1）过B作BE垂直于x轴，由BC和AB的长得到角BAC为30°，且根据勾股定理求出AB的长，在直角三角形ABE中，根据30°角所对的直角边等于斜边的一半得到BE的长，根据勾股定理求出AE的长，从而得到OE的长，写出点B的坐标，设出直线l的解析式为y=kx+b，把A和B的坐标代入即可求出k与b，确定出直线l的解析式；
（2）存在．这样的点有四个，分AP=AB，BP=AB，AP=BA三种情况考虑，利用等腰三角形的性质即可求出各自的坐标；
（3）根据A，D和B的坐标设出抛物线的两根式y=a（x-x1）（x-x2），把相应的坐标和值代入即可求出解析式．
【解析】
（1）连接CB，由AB为圆C的切线，得到CB⊥AB，
在直角三角形ABC中，AC=2，BC=1，∴∠BAC=30°，
且AB=，过点B作BE⊥x轴，
∴BE=AB=，AE=ABcos30°=，即OE=，
∴点B坐标为（，），又点A（-1，0），
设直线l的解析式为y=kx+b，
把A和B的坐标代入得：，
解得：，则直线l的解析式为y=x+；

（2）存在．
当AP=AB时，AP=，由OA=1，得到OP=+1或-1，则P1的坐标为（--1，0），P2（-1，0）；
当BP=BA时，由（1）得到AE=，△ABP为等腰三角形，根据三线合一得到E为AP中点，则AP=3，
又OA=1，所以OP=2，故P3（2，0）；
当PA=PB时，连接BO，由∠ACB=60°，且CO=BO，
所以△OCB为等边三角形，则OB=OA=1，即P4与原点重合，故P4坐标为（0，0），
综上，点P的坐标为（--1，0）或（-1，0）或（2，0）或（0，0）；

（3）∵A（-1，0），D（2，0），B（，），
设所求抛物线的解析式为：y=a（x+1）（x-2），
把B的坐标代入得：=-a，解得a=-，
则所求抛物线的解析式为：y=-（x+1）（x-2）=-x2+x+，
此时顶点坐标为（，）．