Question

如图，⊙O是△ABC的外接圆，AO⊥BC交BC于点D，过A点作AP∥BC，交BO的延长线于点P．
（1）求证：AP是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径R为5，BC=8，求线段AP的长．

Answer

（1）由AO与BC垂直得到∠ADB=90°，又AP平行于BC，根据内错角相等得到∠ADB=∠PAD=90°，即OA垂直于AP，又AO为圆O的半径，故AP为圆O的切线；
（2）由AO垂直BC于D，根据垂径定理得到D为BC中点，由BC的长一半求出BD和CD的长，在直角三角形OBD中，由BD和半径OB的长，根据勾股定理求出OD的长，然后由两对应角相等的两三角形相似得到△AOP∽△DOB，进而得到对应边成比例，列出AP的方程，即可求出方程的解即可得到AP的长．
（1）证明：AO⊥BC于点D．
∴∠ADB=90°，
∵AP∥BC，
∴∠ADB=∠PAD=90°．
∴AO⊥AP
∵AO为⊙O的半径，
∴AP为⊙O的切线．（2分）

（2）【解析】
∵AO⊥BC，BC=8，
∴BD=DC=4．
在Rt△BDO中，
∵OB=5，
∴．（3分）
又∵∠BDO=∠OAP=90°，∠AOP=∠BOD，
∴△AOP∽△DOB（4分）
∴，
即．
∴．（5分）