Question

如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，BC=．动点O在AC边上，以点O为圆心，OA长为半径的⊙O分别交AB、AC于点D、E，连接CD．
（1）若点D为AB边上的中点（如图1），请你判断直线CD与⊙O的位置关系，并证明你的结论；
（2）当∠ACD=15°时（如图2），请你求出此时弦AD的长．

Answer

（1）直线CD与⊙O相切，连接OD，可证得∠CDO=90°，则直线CD与⊙O相切．
（2）过点C作CF⊥AB于点F，根据已知条件，可求出在三角形ABC中，AB=．又∠BDC=45°，所以△DCF为等腰直角三角形，DF=CF，在Rt△BCF中，可求BF=，CF=3=DF，所以AD可用求差法进行求解．
【解析】
（1）直线CD与⊙O相切．
证明：如图1，连接OD．
∵∠ACB=90°，点D为AB边的中点，
∴CD=AB，
AD=AB，
∴AD=CD，
∴∠A=∠ACD=30；（2分）
又∵OD=OA，
∴∠A=∠ADO=30°，（3分）
∴∠COD=60°，
∴∠CDO=90°，
∴直线CD与⊙O相切．（5分）

（2）如图2，过点C作CF⊥AB于点F；
∵∠A=30°，BC=，
∴AB=；（6分）
∵∠ACD=15°，
∴∠BCD=75°，∠BDC=45°；（7分）
在Rt△BCF中，可求BF=，CF=3，（8分）
在Rt△CDF中，可求DF=3，（9分）
∴AD=AB-BF-FD=--3=-3．（10分）