Question

已知抛物线y=a（x+1）²+c（a＞0）与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，其顶点为M，已知直线MC的函数表达式为y=kx-3，与x轴的交点为N，且cos∠BCO=．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在此抛物线上是否存在异于点C的点P，使以N、P、C为顶点的三角形是以NC为一条直角边的直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）如图2，过点A作x轴的垂线，交直线MC于点Q，若将抛物线沿其对称轴上下平移，使抛物线与线段NQ总有公共点，则抛物线向上最多可平移多少单位长度？向下最多可平移多少个单位长度？

Answer

（1）由直线解析式可知OC=3，在Rt△OBC中，根据cos∠BCO=，解直角三角形可得OB=1，将B、C两点坐标代入抛物线解析式，可确定抛物线解析式；
（2）存在．由抛物线解析式得M（-1，-4）得出直线MN解析式，根据△OCN的特殊性，分别过N、C两点作CN的垂线，求出P点坐标；
（3）设平移后抛物线解析式为y=（x+1）2+m，当抛物线与直线MN只有一个交点时，联立抛物线与直线解析式，方程组有一个解，当抛物线经过N、Q时，分别求m的值，确定平移的长度．
【解析】
（1）由y=kx-3，可知OC=3，
在Rt△OBC中，∵cos∠BCO=，
∴BC=，OB==1，
将B（（1，0））、C（0，-3）代入抛物线解析式，
得，
解得，
∴抛物线解析式为y=（x+1）2-4；

（2）存在．由抛物线解析式得M（-1，-4），
设直线MN解析式为y=kx+b，则，
解得，
∴y=x-3，N（3，0），
△OCN为等腰直角三角形．
过N点作CN的垂线交y轴于（0，3），垂线解析式为y=-x+3．
联立，
得P点坐标为（，）或（，），
连接AC，则A（-3，0）点满足题意，
∴P点坐标为（，）或（，）或（-3，0）；

（3）设平移后抛物线解析式为y=（x+1）2+m，
①当抛物线与直线MN只有一个交点时，联立，得x2+x+m+4=0，
当方程组有一个解时，△=0，即1-4（m+4）=0，解得m=-，
∴向上平移4-=个单位，
②当抛物线经过N（3，0）时，（3+1）2+m=0，解得m=-16，
当抛物线经过Q（-3，-6）时，（-3+1）2+m=-6，解得m=-10，
∴向下平移16-4=12个单位．
即抛物线向上最多可平移个单位长度，向下最多可平移12个单位长度．