Question

如图，△P₁OA₁，△P₂A₁A₂，△P₃A₂A₃…△P_nA_n-1A_n都是等腰直角三角形，点P₁、P₂、P₃…P_n都在函数y=（x＞0）的图象上，斜边OA₁、A₁A₂、A₂A₃…A_n-1A_n都在x轴上．
（1）求A₁、A₂点的坐标；
（2）猜想A_n点的坐标．（直接写出结果即可）

Answer

（1）首先根据等腰直角三角形的性质，知点P1的横、纵坐标相等，再结合双曲线的解析式得到点P1的坐标是（2，2），则根据等腰三角形的三线合一求得点A1的坐标；同样根据等腰直角三角形的性质、点A1的坐标和双曲线的解析式求得A2点的坐标；
（2）根据A1、A2点的坐标特征即可推而广之．
【解析】
（1）可设点P1（x，y），
根据等腰直角三角形的性质可得：x=y，
又∵y=，
则x2=4，
∴x=±2（负值舍去），
再根据等腰三角形的三线合一，得A1的坐标是（4，0），
设点P2的坐标是（4+y，y），又∵y=，则y（4+y）=4，即y2+4y-4=0
解得，y1=-2+2，y2=-2-2，
∵y＞0，
∴y=2-2，
再根据等腰三角形的三线合一，得A2的坐标是（4，0）；

（2）可以再进一步求得点A3的坐标是（4，0），推而广之，则An点的坐标是（4，0）．