Question

如图，O为坐标原点，P（m，n）（m＞0）是函数（k＞0）的图象上的一点，过点P作直线PA⊥OP于P，直线PA与x轴的正半轴交于点A（a，0）（a＞m），△OPA的面积为S，且．
（1）当n=1时，求点A的坐标；
（2）若OP=AP，求k的值；
（3）若已知k=2，请问OP²是否有最小值？若有，请求出OP²的最小值；若没有，请说明理由．

Answer

（1）当n=1时，根据三角形的面积即可求得a的值，从而写出点A的坐标；
（2）根据等腰直角三角形的性质得到m=n，OA=2n．再根据三角形的面积得到关于k的方程，求解；
（3）根据k=2，得n=，再根据勾股定理用m表示OP2，利用配方法求得其最小值．
【解析】
（1）n=1时，S=an=a=，
所以a=，
所以A（，0）．（2分）

（2）∵OP=AP，∠OPA=90°，
∴△OPA为等腰直角三角形．
∴OA=2n，m=n，
∴S=2nn=n2，
∴n2=1+（4分），
∵mn=k，
∴n2=k，
得k=1+，
k2-4k+4=0，（5分）
∴k=2；                                            （6分）

（3）∵n=，
∴OP2=m2+n2=m2+（7分）
=．（8分）
当m-=0时，OP2有最小值，最小值是4．           （9分）