Question

如图，在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=8cm，动点P从点A开始沿AC向点C以每秒2厘米的速度运动，同时动点Q从点C开始沿CB边向点B以每秒1厘米的速度运动．设运动的时间为t秒（0＜t＜5），△PQC的面积为Scm²．
（1）求S与t之间函数关系式．
（2）当t为何值时，△PQC的面积最大，最大面积是多少？
（3）在P、Q的移动过程中，△PQC能否为直角三角形？若能，求出此时t的值；若不能，请说明理由．

Answer

（1）根据勾股定理求出AC的长，过Q点作QE⊥AC于E点，得到△QEC∽△ABC，推出比例式=，代入即可求出QE的值，代入三角形的面积公式即可得到答案；
（2）把（1）的解析式化成顶点式即可得到答案；
（3）分两种情况：①当∠PQC=90°时，由相似得到比利式即可求出t的值；②当∠CPQ=90°时，同法可求出t的值，即可得到答案．
【解析】
（1）∵矩形ABCD中，AB=6cm，BC=8cm，
∴根据勾股定理得：AC=10cm，
又∵运动的时间为t秒（0＜t＜5），
∴AP=2tcm，CQ=tcm，
CP=（10-2t）cm．
过Q点作QE⊥AC于E点．
∵∠QEC=∠B=90°，∠ACB=∠ACB，
∴△QEC∽△ABC，
∴，
∴，∴
∴S与t之间的函数关系式为：
S=PC•QE=（10-2t）•=+3t．
答：S与t之间函数关系式是S=-t2+3t．

（2）【解析】
∵，
∴时，△PQC的面积最大，最大面积是，
答：当t为s时，△PQC的面积最大，最大面积是cm2．

（3）在P、Q的移动过程中，△PQC能为直角三角形．
分两种情况：
①当∠PQC=90°时，
∵△CPQ∽△CAB，
∴
∴，
解得符合题意．
②当∠CPQ=90°时，
∵△CPQ∽△CBA，
∴，
∴，
解得符合题意．
综合上述，在P、Q的移动过程中，
当s或时，△PQC能为直角三角形．答：在P、Q的移动过程中，△PQC能为直角三角形，此时t的值是s或s．