Question

如图，在△ABC中，AB=AC，∠B=30°，O是BC上一点，以点O为圆心，OB长为半径作圆，恰好经过点A，并与BC交于点D．
（1）判断直线CA与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若AB=，求图中阴影部分的面积（结果保留π）．

Answer

（1）连接OA，由AB=AC，则∠C=∠B=30°，∠AOC=60°，从而得出∠OAC=90°，则直线CA与⊙O相切；
（2）连接AD，过点D作DE⊥AC，过点O作OF⊥AB，可求得AD和DE，即可得出△ABC的面积，再减去扇形AOD和△AOB的面积即可．
【解析】
（1）连接OA，∵AB=AC，
∴∠C=∠B，
∵∠B=30°，
∴∠C=30°，
∴∠AOC=60°，
∴∠OAC=90°，
∴直线CA与⊙O相切；

（2）连接AD，过点D作DE⊥AC，过点O作OF⊥AB，
∵AB=，
∴AD=OA=OB=OD=4，
∵∠DAE=30°，
∴DE=2，
∴△ABC面积12，
扇形AOD面积，
△ABO面积4，
∴阴影面积-．