Question

如图，已知正方形ABCD的边长为2，将此正方形置于直角坐标系xOy中，使AB在x轴上，对角线的交点E在直线y=x-1上．
（1）按题设条件画出直角坐标系xOy，并求出点A、B、C、D的坐标；
（2）若直线y=x-1与y轴相交于G点，抛物线y=ax²+bx+c过G、A、B三点，求抛物线的解析式及点G关于抛物线对称轴的对称点M的坐标；
（3）在（2）中的抛物线上且位于X轴上方处是否存在点P，使三角形PAM的面积最大？若存在，求出符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）由AB在x轴上，对角线的交点E在直线y=x-1上，即可求得点A的坐标，又由正方形ABCD的边长为2，即可求得点B、C、D的坐标，则结合题意画图即可；
（2）首先直线y=x-1与y轴相交于G点，求得G的坐标，然后设此抛物线的解析式为y=a（x-1）（x-3），由待定系数法求解即可抛物线的解析式，求得其对称轴，则可得点G关于抛物线对称轴的对称点M的坐标；
（3）首先设P（x，-（x-2）2+），然后由S△PAM=S△PAB+S△MAB，根据二次函数求最值问题的求解方法，即可求得答案．
【解析】
（1）∵AB在x轴上，对角线的交点E在直线y=x-1上，
当y=0时，x=1，
∴点A（1，0），
结合题意画图：（2分）
∵正方形ABCD的边长为2，
∴A（1，0）B（3，0）C（3，2）D（1，2）；（4分）

（2）设此抛物线的解析式为y=a（x-1）（x-3），
∵直线y=x-1与y轴相交于G点，
∴G（0，-1），
∴3a=-1，
∴a=-，
∴函数解析式：y=-（x-1）（x-3）=-（x-2）2+，
∴此函数的对称轴为：x=2，
∴M（4，-1）（8分）

（3）存在（9分）
∵AB=2，
设P（x，-（x-2）2+），
∴S△PAM=S△PAB+S△MAB=×2×[-（x-2）2+]+×2×1=-（x-2）2+．
∴当x=2时，△PAM的面积最大，
此时点P的坐标为（2，）．