Question

如图是一张直角三角形纸片OAB，其中∠AOB=90°，OA=2，OB=4．折叠该纸片，折痕与边OB交于点C，与边AB交于点D．
（1）若折叠后使点B与点A重合，求OC的长；
（2）若折叠后点B落在边OA上的点为B′，设OB′=x，OC=y，求出y关于x的函数解析式，并写出x的取值范围；
（3）若折叠后点B落在边OA上的点为B″，是否存在B″D∥OB？若存在，求此时满足条件的OC的长；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）连AC，根据折叠的性质得到CA=CB，设OC=x，则BC=AC=4-x，在Rt△AOC中利用勾股定理可计算出x的值；
（2）连B′C，根据折叠的性质得到CB′=CB=4-y，在Rt△B′OC中利用勾股定理即可得到x与y的函数关系式；
（3）连B″C，BB″交CD于E，根据折叠的性质得到CB″=CB，DB=DB″，EB=EB″，由B″D∥OB，易得△BCE≌△B″DE，则EC=ED，得到四边形BCB″D是菱形，设OB″=x，OC=y，由（1）得y=-x2+2①．又B″D∥OB，得到DB：OB=AB″：AO，即（4-y）：4=（2-x）：2，即y=2x②，联立①②即可得到满足条件的OC的长．
【解析】
（1）如图1∠AOB=90°，OA=2，OB=4．连AC，
∵折叠后使点B与点A重合，
∴CA=CB，
设OC=x，则BC=AC=4-x，
在Rt△AOC中，OA2+OC2=AC2，即22+x2=（4-x）2，解得x=．
∴OC的长为；

（2）如图2，连B′C，
∵折叠后点B落在边OA上的点为B′，
∴CB′=CB，
∴CB′=CB=4-y，
在Rt△B′OC中，OB′2+OC2=B′C2，即x2+y2=（4-y）2，整理得y=-x2+2．
∴y关于x的函数解析式为y=-x2+2（0≤x≤2）；

（3）存在．
如图3，连B″C，BB″交CD于E，
∵折叠后点B落在边OA上的点为B″，
∴CB″=CB，DB=DB″，EB=EB″，
由B″D∥OB，易得△BCE≌△B″DE，
∴EC=ED，
∴四边形BCB″D是菱形，
∴DB″=B″C，
设OB″=x，OC=y，由（1）得y=-x2+2①．
∵B″D∥OB，
∴DB：OB=AB″：AO，即（4-y）：4=（2-x）：2，
∴y=2x②，
由①②得，2x=-x2+2，解得x=±4-8，
∴满足条件的OC的长为8-16．