Question

如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是矩形，OA=4，AB=8，直线与x轴、y轴分别交于E和F，D是CB的中点，G是线段EF（包括端点）上的一点，且GH⊥AB．
（1）由已知可得，点D的坐标为______；
（2）设点G的横坐标为x，四边形GHBD的面积为S，求S关于x的函数表达式，并注明x的取值范围；
（3）①若点G在直线EF上移动，是否存在这样的点G，使D、C、G三点构成的三角形为等腰三角形？若存在，请求出点G的坐标，若不存在，请说明理由；
②若点G在线段EF上移动，求当以GD为直径的⊙M与AB相切时，四边形GHBD的面积．

Answer

（1）根据矩形的长、宽及D为BC的中点，直接写出D点坐标；
（2）由已知得G（x，x+3），由于x＜0，所以BH=8+x，BD=2，HG=4-（x+3）=-x+1，根据梯形的面积公式求S的表达式；
（3）①根据GD=GC，GD=DC，CG=CD三种情况，利用线段相等及勾股定理，列方程求解；
②M为DG的中点，根据中点坐标公式得M（，），即M（，x+），根据4-（x+）=DG，列方程求x，把x的值代入S的表达式中求S．
【解析】
（1）点D的坐标为（-8，2）；

（2）S=（BD+HG）•BH=（3-x）（8+x），即S=-x2-x+12，（-6≤x≤0）；

（3）①
1）若GD=GC，则x+3=1，解得x=-4，∴G1（-4，1），
2）若DG=DC，则（x+8）2+（x+1）2=4，∵△＜0，∴此方程无实根；
3）若CG=CD，则（x+8）2+（x+3）2=4，∴5x2+76x+276=0，x1=-6，x2=-9.2，
G2（-6，0），G3（-9.2，-1.6）（舍去），
∴G点坐标为（-4，1），（-6，0）；
②∵M（，x+），∴4-（x+）=，
∴x2+20x+56=0，∴x=-10±2（舍去负值），
∴S=-x2-x+12=9-19．