Question

如图，在平面直角坐标系中，A、B两点的坐标分别是（0，1）和（1，0），P是线段AB上的一动点（不与A、B重合），坐标为（m，1-m）（m为常数）．
（1）求经过O、P、B三点的抛物线的解析式；
（2）当P点在线段AB上移动时，过O、P、B三点的抛物线的对称轴是否会随着P的移动而改变；
（3）当P移动到点（）时，请你在过O、P、B三点的抛物线上至少找出两点，使每个点都能与P、B两点构成等腰三角形，并求出这两点的坐标．

Answer

（1）设出抛物线的解析式，根据抛物线经过原点，B点，P点可列出方程求出a，b的值确定解析式；
（2）求出抛物线的对称轴，可知是个定值，故不变；
（3）可作出对称轴与x轴的交点为K，过K点作PB的垂直平分线，交抛物线于两点，这两点就符合要求．
【解析】
（1）设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c，
因为抛物线过原点O（0，0）．所以c=0．
，
．
所以y=-x2+x；

（2）由（1）可知抛物线的对称轴是x=-=．
所以它不会随P的移动而改变；

（3）点O（0，0）可满足．
设抛物线的对称轴与x轴交于K，过K作PB的垂直平分线交抛物线于Q1，Q2两点，则△Q1PB，△Q2PB是等腰三角形．
∵直线PB的解析式为：y=-x+1，
∴Q1Q2的解析式是：y=x-，抛物线的解析式为：y=-2x2+2x．
所以直线和抛物线的交点Q1，Q2两点的坐标是（，），（，-）．