Question

如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD=5，对角线BD平分∠ABC，cosC=．
（1）求边BC的长；
（2）过点A作AE⊥BD，垂足为点E，求cot∠DAE的值．

Answer

（1）过点D作DH⊥BC，垂足为点H．在Rt△CDH中，由，可求得CH，再根据对角线和平行线，得∠ABD=∠ADB．则AD=AB=5．即可求出BC；
（2）在Rt△CDH中，可求得DH，进而得出BH，将角∠DAE转化成∠BDH，即可得出答案．
【解析】
（1）过点D作DH⊥BC，垂足为点H．
在Rt△CDH中，由∠CHD=90°，CD=5，，
得．（1分）
∵对角线BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠CBD．（1分）
∵AD∥BC，
∴∠ADB=∠DBC．
∴∠ABD=∠ADB．即得AD=AB=5．（2分）
于是，由等腰梯形ABCD，可知BC=AD+2CH=13．（1分）

（2）∵AE⊥BD，DH⊥BC，
∴∠BHD=∠AED=90°．
∵∠ADB=∠DBC，
∴∠DAE=∠BDH．（1分）
在Rt△CDH中，．（1分）
在Rt△BDH中，BH=BC-CH=13-4=9．（1分）
∴．（1分）
∴cot∠DAE=cot∠BDH=．（1分）