Question

如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD=CD，点E是边AC的中点，连接DE，DE的延长线与边BC相交于点F，AG∥BC，交DE于点G，连接AF、CG．
（1）求证：AF=BF；
（2）如果AB=AC，求证：四边形AFCG是正方形．

Answer

（1）根据线段垂直平分线的性质，可得AF=CF，再根据等角的余角相等可得∠B=∠BAF，所以AF=BF．
（2）由AAS可证△AEG≌△CEF，所以AG=CF．由一组对边平行且相等的四边形是平行四边形得四边形AFCG是平行四边形，进而证得四边形AFCG是菱形，最后根据有一个角为直角的菱形是正方形得证四边形AFCG是正方形．
证明：（1）∵AD=CD，点E是边AC的中点，
∴DE⊥AC．
即得DE是线段AC的垂直平分线．
∴AF=CF．
∴∠FAC=∠ACB．
在Rt△ABC中，由∠BAC=90°，
得∠B+∠ACB=90°，∠FAC+∠BAF=90°．
∴∠B=∠BAF．
∴AF=BF．

（2）∵AG∥CF，∴∠AGE=∠CFE．
又∵点E是边AC的中点，∴AE=CE．
在△AEG和△CEF中，
，
∴△AEG≌△CEF（AAS）．
∴AG=CF．
又∵AG∥CF，∴四边形AFCG是平行四边形．
∵AF=CF，∴四边形AFCG是菱形．
在Rt△ABC中，由AF=CF，AF=BF，得BF=CF．
即得点F是边BC的中点．
又∵AB=AC，∴AF⊥BC．即得∠AFC=90°．
∴四边形AFCG是正方形．