Question

如图，抛物线y=ax²+bx+c顶点为P（1，-1），与x轴交于O、A两点，其中O为原点，点C是对称轴与x轴的交点．
（1）求抛物线的解析式和点C的坐标；
（2）试在抛物线上找点D，在对称轴上找点Q，使得以P、D、Q为顶点的三角形与△OPC相似．请求出所有可能的点D和点Q的坐标．

Answer

（1）根据顶点坐标求出y=a（x-1）2-1进而二次函数解析式即可；
（2）首先得出△OPC为等腰直角三角形，要使以P、D、Q为顶点的三角形与△OPC相似，则△PDQ也一定为等腰直角三角形，进而得出D点的坐标，再分别求出即可．
【解析】
（1）∵抛物线y=ax2+bx+c的顶点为P（1，-1），
∴y=a（x-1）2-1
又抛物线经过原点O，
∴0=a（0-1）2-1，
∴a=1，（3分）
∴抛物线的解析式为y=（x-1）2-1，
即：y=x2-2x，（4分）
对称轴为：直线x=1，
∴C点坐标为（1，0）（5分）；

（2）由（1）知，OC=1，PC=1，∠OCP=90°，
∴△OPC为等腰直角三角形．（6分）
要使以P、D、Q为顶点的三角形与△OPC相似，则△PDQ也一定为等腰直角三角形．
显然，∠DPQ不可能是90°，所以∠DPQ=45°（7分），
∴点P在直线PO或直线PD上．
∴点D只能是（0，0），或（2，0）（9分），
当D为（0，0）时，若∠DQP=90°，则点Q与点C重合，
从而△PDQ与△OPC重合，不合，舍去；
若∠PDQ=90°，则点Q的坐标为（1，1）（10分）
当D为（2，0）时，若∠DQP=90°，则点Q与点C重合，即点Q的坐标为（1，0）；
若∠PDQ=90°，则点Q的坐标为（1，1）（11分）
所以，符合题意的点D和点Q为：D（0，0）、Q（1，1）；D（2，0）、Q（1，0）．（12分）