Question

如图，已知⊙O₁和⊙O₂的半径分别为R、r，连接O₁O₂交⊙O₁于点M、交⊙O₂于点N．将一个直角三角尺的直角顶点C放在直线O₁O₂的上方，让两个直角边所在的直线分别经过点M、N，CM交⊙O₁于点A，CN交⊙O₂于点B．
（1）求证：O₁A∥O₂B；
（2）直线AB和直线O₁O₂能否平行？若能够，试指出什么条件下，AB∥O₁O₂；若不能，试说明理由．
（3）是否存在一点C，使CM•CA=CN•CB？若存在，请说明如何确定点C的位置，并证明你的结论；如果不存在，请说明理由．

Answer

（1）本题需先连接O1A，O2B，然后得出∠O1AM=∠O1MA和∠O2BN=∠O2NB，再根据∠O1MA+∠O2NB=90°，∠O1AM+∠O2BN=90°，证出∠O1AB+∠O2BA=180°，即可求出结果．
（2）本题需先证出四边形O1ABO2为平行四边形，得出R=r，即可求出结果．
（3）本题需先作两圆的外公切线AB，然后连接AM、BN交于点C，然后进行证明，即可求出答案．
【解析】
（1）连接O1A，O2B，
∵O1M=O1A，
∴∠O1AM=∠O1MA，
同理∠O2BN=∠O2NB，
∵∠C=90°，
∴∠CMN+∠CNM=90°，∠CAB+∠CBA=90°，
∵∠O1MA=∠CMN，∠O2NB=∠CNM，
∴∠O1MA+∠O2NB=90°，
∴∠O1AM+∠O2BN=90°，
∴∠O1AB+∠O2BA=∠O1AM+∠CAB+∠CBA+∠O2BN=180°，
∴O1A∥O2B；

（2）由（1）知O1A∥O2B，若又有AB∥O1O2，
则四边形O1ABO2为平行四边形，
∴O1A=O2B，即R=r，
∴R=r时，AB∥O1O2；

（3）存在点C．
点C的位置可以这样确定：
先作两圆的外公切线AB，然后连接AM、BN交于点C，
理由如下：
∵AB切圆O1于点A，切圆O2于点B，
∴O1A⊥AB，O2B⊥AB，
∴∠O1AM+∠CAB=∠O1AB=90°O1A∥O2B，
∴∠O1+∠O2=180°，
又∠O1MA+∠O1AM+∠O1=180°，∠O2NB+∠O2BN+∠O2=180°，
∠O1AM=∠O1MA，∠O2BN=∠O2NB，
∴∠O1MA+∠O2NB=90°，
∵∠O1MA=∠CMN，∠O2NB=∠CNM，
∴∠CMN+∠CNM=90°，
∴∠C=90°，
∵∠CMN=∠O1MA=∠O1AM，
而∠CMN+∠CNM=90°，∠O1AM+∠CAB=90°，
∴∠CNM=∠CAB，
∴△CNM∽△CAB，
∴，
即CM•CA=CN•CB．