Question

如图，⊙O的圆心在x轴上，与坐标轴交于A（0，2）、B（，0），若抛物线经过A、B两点，抛物线的顶点为P．
（1）求出抛物线的关系式；
（2）抛物线的顶点P是否在圆上？
（3）若⊙O与y轴的另一交点为D，则由线段PA、线段PD及弧ABD形成的封闭图形PABD的面积为多少？

Answer

（1）知A，B两点代入二次函数式求其解析式；
（2）知道二次函数式求其顶点坐标，在Rt△AMO中，由勾股定理求得OA=OB，即圆点O坐标，从而确定．
（3）连接OD，又点O在抛物线的对称轴上，得OP∥y轴，又得S△OAD=S△PAD，由线段PA、线段PD及弧ABD形成的面积，在Rt△AMO中，利用三角函数求得角AOM为60°，从而求得．
【解析】
（1）∵抛物线经过点A、B，
有，
解得，
∴；

（2）由得，
顶点P的坐标为（1，），
在Rt△AMO中，OA2-OM2=AM2，AM=，BM=1，
故有OA2-（OA-1）2=3，
∴OA=2
∴OB=2，OM=1，即点O的坐标为（1，0）．
∴OP=＞2，
∴顶点P在圆外；

（3）连接OD，∵点O在抛物线的对称轴上，
∴OP∥y轴，
∴S△OAD=S△PAD，
∴由线段PA、线段PD及弧ABD形成的封闭图形PABD的面积=扇形OAD的面积．
∵在Rt△AMO中，sin∠AOM=，
∴∠AOM=60°．
∴封闭图形PABD的面积=（平方单位）．