Question

如图，抛物线y=x²+bx-2与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，且A（-1，0）．
（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；
（2）若E是抛物线上异于C的点，且S_△ABE=S_△ABC，则满足条件的点E有______ 个；
（3）判断△ABC的形状，证明你的结论．

Answer

（1）根据抛物线y=x2+bx-2过A（-1，0）点，直接求出b的值，再根据配方法求出二次函数顶点坐标即可；
（2）根据三角形面积求法得出等底同高面积相等，即可得出符合要求的答案；
（3）分别求出三角形三边，即可得出三角形的形状．
【解析】
（1）∵抛物线y=x2+bx-2过A（-1，0）点，
∴0=×1+b×（-1）-2，
∴b=-，
∴抛物线的解析式为：y=x2-x-2，
∴y=x2-x-2，
=（x2-3x）-2，
=（x2-3x+-）-2，
=（x-）2--2，
=（x-）2-，
∴顶点D的坐标为（，-）；

（2）∵E是抛物线上异于C的点，且S△ABE=S△ABC，
∴只需满足E到x轴的距离等于C到x轴的距离即可，
∴满足条件的点E有3个；

（3）∵抛物线的解析式为：y=x2-x-2=（x-）2-，
∴当y=0，
∴0=（x-）2-，
解得：x1=4，x2=-1，
∴A（-1，0），B（4，0），
当x=0，y=-2，
∴AO=1，CO=2，
∴AC=，
BO=4，
∴BC=2
∴AB=5，
∵AC2=5，BC2=20，AB2=25，
∴AC2+BC2=AB2，
∴△ABC是直角三角形．