Question

据我国古代《周髀算经》记载，公元前1120年商高对周公说，将一根直尺折成一个直角，两端连接得到一个直角三角形，如果勾是三，股是四，那么弦就等于五．后人概括为“勾三、股四、弦五”．
（1）观察：3，4，5；5，12，13；7，24，25；…，小明发现这些勾股数的勾都是奇数，且从3起就没有间断过，
当勾=3时，股4=（9-1），弦5=（9+1）；
当勾=5时，股12=（25-1），弦13=（25+1）；
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请你根据小明发现的规律用n（n为奇数且n≥3）的代数式来表示所有这些勾股数的勾______、股______、弦______，并猜想他们之间的相等关系（写二种）并对其中一种猜想加以证明；
（2）继续观察4，3，5；6，8，10；8，15，17；…，可以发现各组的第一个数都是偶数，且从4起也没有间断过．请你直接用m（m为偶数且m≥4）的代数式来表示他们的股和弦．

Answer

（1）根据所提供的例子发现股是勾的平方减去1的二分之一，弦是勾的平方加1的二分之一；
（2）股是勾的平方减去4的四分之一，弦是勾的平方加4的四分之一．
【解析】
（1）∵（9-1）=4，（9+1）=5； （25-1）=12，（25+1）=13；
∴7，24，25的股的算式为 （49-1）=（72-1）
弦的算式为 （49+1）=（72+1）；
当n为奇数且n≥3，勾、股、弦的代数式分别为：n，（n2-1），（n2+1）．
例如关系式①：弦-股=1；关系式②：勾2+股2=弦2，
证明关系式①：弦-股=（n2+1）-（n2-1）=[（n2+1）-（n2-1）]=1
或证明关系式②：勾2+股2=n2+[（n2-1）]2=n4+n2+=（n2+1）2=弦2∴猜想得证；

（2）例如探索得，当m为偶数且m＞4时，股、弦的代数式分别为：，．
另加分问题，
例如：连接两组勾股数中，上一组的勾、股与下一组的勾的和等于下一组的股．
即上一组为：n，（n2-1），-（n2+1）（n为奇数且n≥3），
分别记为：A1、B1、C1，
下一组为：n+2，[（n+2）2-1]，[（n+2）2+1]（n为奇数且n≥3），
分别记为：A2、B2、C2，
则：A1+B1+A2=n+（n2-1）+（n+2）=（n2+4n+3）=[（n+2）2-1]=B2．
或B1+C2=B2+C1（证略）等等．