Question

在图1到图3中，点O是正方形ABCD对角线AC的中点，△MPN为直角三角形，∠MPN=90°．正方形ABCD保持不动，△MPN沿射线AC向右平移，平移过程中P点始终在射线AC上，且保持PM垂直于直线AB于点E，PN垂直于直线BC于点F．
（1）如图1，当点P与点O重合时，OE与OF的数量关系为______；
（2）如图2，当P在线段OC上时，猜想OE与OF有怎样的数量关系与位置关系？并对你的猜想结果给予证明；
（3）如图3，当点P在AC的延长线上时，OE与OF的数量关系为______；位置关系为______．

Answer

（1）根据利用正方形的性质和直角三角形的性质即可判定四边形BEOF为正方形，从而得到结论；
（2）当移动到点P的位置时，可以通过证明四边形BEPF为矩形来得到两条线段的数量关系；
（3）继续变化，有相同的关系，其证明方法也类似．
（1）【解析】
OE=OF（相等）；（1分）

（2）【解析】
OE=OF，OE⊥OF；（3分）
证明：连接BO，
∵在正方形ABCD中，O为AC中点，
∴BO=CO，BO⊥AC，∠BCA=∠ABO=45°，（4分）
∵PF⊥BC，∠BCO=45°，
∴∠FPC=45°，PF=FC．
∵正方形ABCD，∠ABC=90°，
∵PF⊥BC，PE⊥AB，
∴∠PEB=∠PFB=90°．
∴四边形PEBF是矩形，
∴BE=PF．（5分）
∴BE=FC．
∴△OBE≌△OCF，
∴OE=OF，∠BOE=∠COF，（7分）
∵∠COF+∠BOF=90°，
∴∠BOE+∠BOF=90°，
∴∠EOF=90°，
∴OE⊥OF．（8分）

（3）OE=OF（相等），OE⊥OF（垂直）．（10分）