Question

抛物线对称轴为直线x=4，且过点O（0，0），B（-2，-10），A是抛物线与x轴另一个交点．
（1）求二次函数的解析式；
（2）如图，点C从O点出发，沿x轴以每秒钟一个单位的速度运动，矩形CDEF内接于抛物线，C、D在x轴上，E、F在抛物线上，运动时间t（0＜t＜4）为何值时，内接矩形CDEF的周长最长？并求周长的最大值；
（3）在（2）中内接矩形CDEF的周长取得最大的条件下，x轴上是否存在点P使△PEF为直角三角形（P为直角顶点）？若存在，请求P点坐标；若不存在，说明理由．

Answer

（1）由对称轴x=4及过点O（0，0），可得A（8，0），设交点式y=ax（x-8），将B（-2，-10）代入，可求抛物线解析式；
（2）由已知得C（t，0），用抛物线解析式表示CF，由抛物线的对称性可知D（8-t，0），则CD=8-2t，可表示矩形CDEF的周长，运用二次函数的性质求周长的最大值；
（3）不存在．由（2）的结论求E、F两点坐标，以EF为直径画圆，判断这个圆与x轴无交点即可．
【解析】
（1）∵抛物线对称轴为x=4，又过点O（0，0），
∴A（8，0），
设抛物线解析式为y=ax（x-8），将B（-2，-10）代入，得a=-，
∴抛物线解析式为y=-x（x-8）=-x2+4x；

（2）∵C（t，0），
∴F（t，-t2+4t），
∴CF=-t2+4t，
由抛物线的对称性可知D（8-t，0），
∴CD=8-t-t=8-2t，
∴矩形CDEF的周长=2（CF+CD）=2（-t2+4t+8-2t）=-t2+4t+16，
∵-1＜0，二次函数-t2+4t+16开口向下，
∴当t=2时，矩形CDEF的周长最大值为20；

（3）不存在．
当t=2时，F（2，6），E（6，6），
∴EF=6-2=4，EF与x轴的距离为6，
以EF为直径的圆与x轴没有交点，
∴不存在点P，使△PEF为直角三角形（P为直角顶点）．