Question

如图，已知点A从（1，0）出发，以1个单位长度/秒的速度沿x轴向正方向运动，以O、A为顶点在x轴的上方作菱形OABC，且∠AOC=60°；同时点G从点D（8，0）出发，以2个单位长度/秒的速度沿x轴向负方向运动，以D、G为顶点在x轴的上方作正方形DEFG．设点A运动了t秒．求：
（1）点B的坐标（用含t的代数式表示）
（2）当点A在运动的过程中，当t为何值时，点O、B、E在同一直线上；
（3）当点A在运动的过程中，是否存在t，使得以点C、G、D为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）作BH⊥x轴于H点，根据OA=AB=t，表示出BH和AH的长即可求得B点的坐标；
（2）求得线段OB所在直线的解析式后将用t表示的E点的坐标代入就可以求得三点共线的时间t；
（3）用t表示出C、G点的坐标分①若CG=CD，则CG2=CD2、②若GC=GD，则GC2=GD2、③若DC=DG，则DC2=DG2三种情况求得存在的时间t．
【解析】
（1）作BH⊥x轴于H点，
∵OA=AB=1+t，∠AOC=∠BAH=60°
∴AH=，BH=（t+1），
∴OH=t+1+=，
∴B（，（t+1））（2分）

（2）将点B（，（t+1））代入直线OB的解析式y=kx，
解得直线的解析式为y=，
∵点E的坐标为（8，2t），且O、B、E三点共线，
∴∠BOD=30°
∴2t=
解得：（3分）

（3）过C作CM⊥x轴，交x轴于M，连接CG，
∵C（），G（8-2t，0），D（8，0），
∴MG=OG-OM=8-2t-，CM=，
在直角三角形CMG中，CG2=MG2+CM2，
∴，
，GD2=4t2
假设存在满足条件的t，则
①若CG=CD，则CG2=CD2，
∴=t1=0（舍去）t2=5
②若GC=GD，则GC2=GD2
∴=4t2，，，
③若DC=DG，则DC2=DG2
∴=4t2，，（11分）（每种情况2分）
∴存在满足条件的t值为：5，，，（12分）