Question

如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC为直角梯形，OA∥BC，BC=14，A（16，0），C（0，2）．
（1）如图①，若点P、Q分别从点C、A同时出发，点P以每秒2个单位的速度由C向B运动，点Q以每秒4个单位的速度由A向O运动，当点Q停止运动时，点P也停止运动．设运动时间为t秒（0≤t≤4）．
①求当t为多少时，四边形PQAB为平行四边形？
②求当t为多少时，直线PQ将梯形OABC分成左右两部分的比为1：2，并求出此时直线PQ的解析式．
（2）如图②，若点P、Q分别是线段BC、AO上的任意两点（不与线段BC、AO的端点重合），且四边形OQPC面积为10，试说明直线PQ一定经过一定点，并求出该定点的坐标．

Answer

（1）①只要PB=AQ就说明四边形PQAB为平行四边形，由此建立关于t的方程．
②直线PQ将梯形OABC分成左右两部分的比为1：2，则梯形COQP的面积是梯形COAB面积的．由此建立关于t的方程．
（2）通过设P点坐标，由面积已知可表示Q点坐标，这样可表示出直线PQ的解析式，然后分析解析式找出定点．
【解析】
（1）①CP=2t，则PB=14-2t，AQ=4t因为PB∥QA，
所以当PB=QA时四边形PQAB为平行四边形，即有14-2t=4t．
所以
②直线PQ将梯形OABC分成左右两部分的比为1：2，则梯形COQP的面积是梯形OABC面积的，
∴（2t+16-4t）×2=×，
即t=3s时，直线PQ分梯形OABC左右两部分的比为1：2
此时P（6，2），Q（4，0）可求得PQ：y=x-4．

（2）设点P的坐标为（m，2），则CP=m．
∵四边形OQPC面积为10，
∴，解得OQ=10-m．
∴Q（10-m，0）．
设直线PQ的解析式为y=kx+b，（k≠0），
则，两式相加得b=1-5k．
∴直线PQ的解析式可表示为y=kx+1-5k．
由于上式中当x=5时，y=1，与k的取值无关，
即不论k取任何满足条件的值，直线PQ必过定点（5，1）．