Question

在梯形ABCD中，AB∥CD，∠BCD=90°，且AB=1，BC=2，tan∠ADC=2，对角线AC和BD相交于点O，等腰直角三角板的直角顶点落在梯形的顶点C上，使三角板绕点C旋转．
（1）如图1，当三角板旋转到点E落在BC边上时，线段DE与BF的位置关系是，数量关系是______；
（2）继续旋转三角板，旋转角为α（0＜α＜90°）．请你在图2中画出图形，并判断（1）中结论还成立吗？如果成立，请加以证明；如果不成立，请说明理由．

Answer

（1）根据旋转的性质，易证得△DCE≌△BCF，然后由全等三角形的性质，即可证得线段DE与BF的位置关系是，数量关系是垂直，相等；
（2）首先过A作AM⊥DC于M，则四边形ABCM为矩形．由tan∠ADC=2，即可证得△CEF是等腰直角三角形，即可证得△DCE≌△BCF，根据全等三角形的性质，即可证得线段DE和BF相等且互相垂直．
【解析】
（1）垂直，相等；

（2）画图如右图（答案不唯一）

（1）中结论仍成立．
证明如下：
过A作AM⊥DC于M，
则四边形ABCM为矩形．
∴AM=BC=2，MC=AB=1．
∵tan∠ADC=2，
∴DM==1．
∴DC=BC．
∴△CEF是等腰直角三角形，
∴∠ECF=90°，CE=CF，
∵∠BCD=∠ECF=90°，
∴∠DCE=∠BCF，
∴△DCE≌△BCF（SAS），
∴DE=BF，∠1=∠2，
又∵∠3=∠4，
∴∠5=∠BCD=90°，
∴DE⊥BF，
∴线段DE和BF相等且互相垂直．