Question

如图，在等腰Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，F是AB边上的中点，点D、E分别在AC、BC边上运动，且保持AD=CE．连接DE、DF、EF．
①求证：△DFE是等腰直角三角形；
②在此运动变化的过程中，四边形CDFE的面积是否保持不变？试说明理由．
③求△CDE面积的最大值．

Answer

①作常规辅助线连接CF，由SAS定理可证△CFE和△ADF全等，从而可证∠DFE=90°，DF=EF．所以△DEF是等腰直角三角形；
②由割补法可知四边形CDFE的面积保持不变；
③△DEF是等腰直角三角形DE=DF，当DF与BC垂直，即DF最小时，DE取最小值4 ，△CDE最大的面积等于四边形CDEF的面积减去△DEF的最小面积．
【解析】
①连接CF；
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴∠FCB=∠A=45°，CF=AF=FB；
∵AD=CE，
∴△ADF≌△CEF；
∴EF=DF，∠CFE=∠AFD；
∵∠AFD+∠CFD=90°，
∴∠CFE+∠CFD=∠EFD=90°，
∴△EDF是等腰直角三角形．
②当D、E分别为AC、BC中点时，四边形CDFE是正方形．
∵△ADF≌△CEF，
∴S△CEF=S△ADF
∴S四边形CEFD=S△AFC．
③由于△DEF是等腰直角三角形，因此当DE最小时，DF也最小；
即当DF⊥AC时，DE最小，此时DF=BC=4．
∴DE=DF=4 ；
当△CEF面积最大时，此时△DEF的面积最小．
此时S△CEF=S四边形CEFD-S△DEF=S△AFC-S△DEF=16-8=8．