Question

对于点O、M，点M沿MO的方向运动到O左转弯继续运动到N，使OM=ON，且OM⊥ON，这一过程称为M点关于O点完成一次“左转弯运动”．正方形ABCD和点P，P点关于A左转弯运动到P₁，P₁关于B左转弯运动到P₂，P₂关于C左转弯运动到P₃，P₃关于D左转弯运动到P₄，P₄关于A左转弯运动到P₅，…．
（1）请你在图中用直尺和圆规在图中确定点P₁的位置；
（2）连接P₁A、P₁B，判断△ABP₁与△ADP之间有怎样的关系？并说明理由．
（3）以D为原点、直线AD为y轴建立直角坐标系，并且已知点B在第二象限，A、P两点的坐标为（0，4）、（1，1），请你推断：P₄、P₂₀₀₉、P₂₀₁₀三点的坐标．

Answer

（1）根据旋转的性质与“左转弯运动”的定义，即可知首先作∠BAP1=∠DAP，然后截取AP1=AP即可求得P1；
（2）由旋转的性质，即可得AB=AD，AP=AP1，∠PAD=∠P1AB，则可证得△ABP1≌△ADP，又由△ABP1和△ADP有公共顶点A，且∠PAP1=90°，即可得△ABP1可看成是由△ADP绕点A顺时针旋转90°而得；
（3）由题意，即可求得P1，P2，P3，P4的坐标，即可得规律：各点的坐标每四次一循环，即可求得P4、P2009、P2010三点的坐标．
【解析】
（1）用直尺和圆规作图，作图痕迹清晰；（2分）

（2）△ABP1≌△ADP，且△ABP1可看成是由△ADP绕点A顺时针旋转90°而得．（3分）
理由如下：在△ABP1和△ADP中，
由题意：AB=AD，AP=AP1，∠PAD=∠P1AB，
∴△ABP1≌△ADP，
又∵△ABP1和△ADP有公共顶点A，且∠PAP1=90°，
∴△ABP1可看成是由△ADP绕点A顺时针旋转90°而得；（5分）

（3）点P（1，1）关于点A（0，4）左转弯运动到P1（-3，3），
点P1（-3，3）关于点B（-4，4）左转弯运动到点P2（-5，3），
点P2（-5，3）关于点C（-4，0）左转弯运动到点P3（-1，1），
点P3（-1，1）关于点D（0，0）左转弯运动到点P4（1，1），（6分）
点P4（1，1）关于点A（0，4）左转弯运动到点P5（-3，3），
点P5与点P1重合，点P6与点P2重合，点P2009的坐标为（-3，3）（8分）
点P2010的坐标为（-5，3）．（10分）