Question

已知：如图，把等腰△ABO放在直角坐标系中，AB=AO，点A的坐标是（-2，3），过△ABO的重心Q作x轴的平行线l，把△ABO沿直线l翻折，使得点A'落在第三象限．
（1）试直接写出点A′的坐标；
（2）若双曲线过点A′，且它的另一分支与直线l相交于点C，试判断：直线A′C是否经过原点O？
（3）问：y轴上是否存在点P，使得△A′CP是直角三角形？若存在，试求出点P的坐标；若不存在，试说明理由．

Answer

（1）由已知点Q是三角形的重心，可写出Q的坐标，又由过△ABO的重心Q作x轴的平行线l，把△ABO沿直线l翻折，使得点A'落在第三象限，可得出A′的坐标．
（2）由（1）可得出C点的纵坐标为1，也可写出双曲线的解析式，因此可得出C点的坐标，继而求出直线AC，把O（0，0）代入直线AC验证即可．
（3）可分三种情况）①当∠A'CP=90°时，②当∠PA'C=90°时，③当∠A'PC=90°时，分类讨论得出．
【解析】
（1）由题意：Q（-2，1），直线l为：y=1，则A'（-2，-1）；

（2）将A'（-2，-1）代入双曲线解析式，得双曲线解析式为：．把y=1代入，得C（2，1），再求得直线AC的解析式为：y=2x，把点O（0，0）代入y=2x，左=右，故直线A'C经过原点O．

（3）①当∠A'CP=90°时，设过点C的直线CP的解析式为：y=mx+n（m≠0），直线CP与x轴的交点为D，又过点C（2，1），则2m+n=1，n=1-2m，故y=mx+（1-2m），点，作CH⊥x轴，由△OHC∽△CHD可得：，即CH2=OH•HD，
∴，解得：m=-2，故直线CP的解析式为y=-2x+5，令x=0，则y=5．故点P的坐标为P1（0，5）．
②当∠PA'C=90°时，由双曲线的对称性可得另一点P的坐标为P2（0，-5）．
③当∠A'PC=90°时，以A'C为直径作⊙O交y轴于两点P3、P4，由“直径所对的圆周角是直角”可知P3、P4符合题意，在Rt△OHC中，由勾股定理可得：，则点、．