Question

如图，已知，正△A₁B₁C₁的外接圆⊙O内切于正△ABC，若△ABC的面积是4，则阴影部分的面积是
（ ）

A．2
B．
C．2
D．+π

Answer

解法（1）连接AO延长交BC于D，连接OB、OC1，过O作OE⊥A1C1于E，设正△ABC的边长是a，则BD=CD=a，根据等边三角形的性质求出OD、AD，根据三角形的面积公式和勾股定理求出BC、AD、OD，根据勾股定理和含30°角的直角三角形的性质求出DE、EC1，进一步求出A1C1及边上的高，根据三角形的面积公式求出△A1B1C1的面积，根据式子×（△ABC的面积-△A1B1C1的面积），代入求出即可．
解法（2）连接MN，根据旋转得到阴影部分的面积等于△BMN的面积，求出△BMN的面积即可．
【解析】
解法（1）
连接AO延长交BC于D，连接OB、OC1，过O作OE⊥A1C1于E，
∵正三角形ABC，
∴AD⊥BC，BD=DC，
设正△ABC的边长是a，则BD=CD=a，
根据勾股定理得：AD=a，
∵△ABC的面积是4，
∴×a×a=4，
∴a=4，
∴BD=2，
∵O是正△ABC的内切圆的圆心，
∴∠OBC=×60°=30°，
∴OD=BO，
由勾股定理得：OD=，
∴C10=，
同法可求：OE=OC1=，
C1E=A1E=1，
∴A1C1=2，
A1C1边上的高是3×=，
∴△A1B1C1的面积是×2×=，
∴阴影部分的面积是×（△ABC的面积-△A1B1C1的面积）=×（4-）=，

解法（2）
连接MN，
由（1）可知：BN=BD=2，
同法可求BN上的高MH=，
∴根据旋转得出：阴影部分的面积=△BMN的面积=BN×MH=×2×=．
故选B．