Question

如图，已知在平面直角坐标系中，点A的坐标为（0，1），点B的坐标为（1，0），经过原点的直线交线段AB于点C，过点C作OC的垂线与直线x=1相交于点P，设AC=t，点P的坐标为（1，y），
（1）求点C的坐标（用含t的代数式表示）；
（2）求y与t之间的函数关系式和t的取值范围；
（3）当△PBC为等腰三角形时，直接写出点P的坐标．

Answer

（1）首先得出∠A=∠ABO=∠ABN=45°，进而得出AM=CM，CN=BN，即可表示出C点坐标；
（2）利用矩形的性质得出，OM=CN，进而得出△MCO≌△NCP，即可得出OC=CP，即可得出y与t之间的函数关系式；
（3）利用△PBC为等腰三角形分别当PB=PC时，以及当BP=BC时，求出即可．
【解析】
（1）过点C作MN∥OB，分别交y轴于点M，直线x=1于点N，
∵点A的坐标为（0，1），点B的坐标为（1，0），即OA=OB，
∴∠A=∠ABO=∠ABN=45°，
∵CM⊥y轴，∴AM=CM，CN=BN，
∵AC=t，∴AM=MC=t（1分），
∴MO=1-t（1分），
∴点C的坐标为（t，1-t）（1分）；

（2）∵四边形MOBN为矩形，
∴OM=BN，
∴OM=CN
∵∠MCO+∠NCP=90°，∠MCO+∠MOC=90°
∴∠NCP=∠MOC，
∴△MCO≌△NCP，
∴OC=CP
∴PN=t，BN=1-t，
∵点P的坐标为（1，y），
∴，
∴y=1-t，（0≤t＜）；

（3）∵△PBC为等腰三角形B（1，0），C（，1-），P（1，1-t），
当PB=PC时，
（t-1）2=（-1）2+（1--1+t）2．
解得t=0，
故点P的坐标为（1，1）；（2分）
当BP=BC时，即（t-1）2=（1-）2+（-1）2．
解得t=1，
故点P的坐标为（1，）（2分）