Question

如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D是AB边上一点，以BD为直径的⊙O与边AC相切于点E，连接DE并延长，与BC的延长线交于点F，
（1）求证：BD=BF；
（2）当BC=3，AD=2时，求⊙O的面积；
（3）在（2）的条件下，判断△DBF是否为正三角形？并说明你的理由．

Answer

（1）连接OE，易证OE∥BC，根据等边对等角即可证得∠ODE=∠F，则根据等角对等边即可求解；
（2）易证△AOE∽△ABC，根据相似三角形的对应边的比相等即可证得圆的半径，即可求解；
（3）在Rt△ABC中，求得cosB的值，即可确定∠B的度数，即可判断．
（1）证明：连OE，则OE⊥AC．又BC⊥AC．
∴OE∥BC
∴∠OED=∠F．
又OD=OE，∠OED=∠ODE，
∴∠ODE=∠F，
∴BD=BF（3分）

（2）【解析】
设⊙O的半径为R，则BD=2R，OD=OE=R，由OE∥BC
有△AOE∽△ABC，
∴，即，
解得：R1=2，（舍去）（6分）
∴⊙O的面积=πR2=4π（7分）

（3）【解析】
△BDF是正三角形．理由如下：
由（2）知BD=2R=4．
∴AB=6，
在Rt△ABC中，cosB=（8分）
∴∠B=60°，又BD=BF
∴△BDF是正三角形．（10分）