Question

如图，P为正方形ABCD的对称中心，A（0，3），B（1，0），直线OP交AB于N，DC于M，点H从原点O出发沿x轴的正半轴方向以1个单位每秒速度运动，同时，点R从O出发沿OM方向以个单位每秒速度运动，运动时间为t．求：
（1）C的坐标为______；
（2）当t为何值时，△ANO与△DMR相似？
（3）△HCR面积S与t的函数关系式；并求以A、B、C、R为顶点的四边形是梯形时t的值及S的值．

Answer

（1）做CQ⊥x轴，根据题意推出△AOB≌△BQC，即可推出OQ，CQ的长度，即可求出C点的坐标；
（2）根据P点为对称中心，即可求出P点的坐标为（2，2），即可推出∠AON=45°，然后分情况进行讨论，①当∠MDR=45°时，②当∠MDR=45°时；
（3）①根据R和H点的运动速度，∠ROH=45°，推出RH始终垂直于x轴，即可推出OH的长度，便可推出RH边上高的长度，根据面积公式即可推出S与t的函数式；
②分情况进行讨论，顶边和底边分别为BC、AR，此时BC∥AR，结合已知和已证求出R点的坐标，求出t即可；顶边、底边分别为CR、AB，此时CR∥AB，结合已知和已证求出R点的坐标，求出t即可．
【解析】
（1）做CQ⊥x轴，
∵正方形ABCD，
∴AB=BC，∠ABC=90°，
∴∠CBQ=∠OAB，
∴△AOB≌△BQC，
∴CQ=OB，BQ=OA，
∵A（0，3），B（1，0），
∴BQ=3，CQ=1，
∴OQ=4，
∴C（4，1）；

（2）∵P是正方形的对称中心，由A（0，3），C（4，1），
∴P（2，2）；
∴∠MOB=45°，
∴∠AON=45°，
∵点R从O出发沿OM方向以个单位每秒速度运动，运动时间为t，
∴OR=t，OH=t，
∴RH∥y轴，即R、H的横坐标相同；
∵AB∥CD，
∴∠DMR=∠ANO，
若△ANO与△DMR相似，
则∠MDR=∠AON=45°或∠DRM=∠AON=45°，
①当∠MDR=45°时，R、P重合，
∵R（2，2），
∴t=2；
②当∠DRM=45°时，DR∥y轴，
∵D（3，4），
∴R（3，3），
∴t=3，
∴当t=2或t=3时，△ANO与△DMR相似．

（3）①∵R速度为，H速度为1，且∠ROH=45°，
∴tan∠ROH=1，
∴RH始终垂直于x轴，
∴RH=OH=t，
 设△HCR的边RH的高为h，
∴h=|4-t|．
∴S△HCR=h•t=|-t2+4t|，
∴S=-t2+2t（0＜t≤4）；S=t2-2t（t＞4）；
②以A、B、C、R为顶点的梯形，有三种可能：
 1．顶边和底边分别为BC、AR，此时BC∥AR．
延长AD，使其与OM相交于点R，
∴AD的斜率=tan∠BAO=，
∴直线AD为：y=+3．
∴R坐标为（4.5，4.5），
∴此时四边形ABCR为梯形，
∴t=4.5
 2．顶边、底边分别为CR、AB，此时CR∥AB，且R与M重合．
∴CD的斜率=-3，且直线CD过点C，
∴直线CD为：y-1=-3•（x-4），
∴y=-3x+13，
∵OM与CD交于点M（即R），
∴M为（，），
∴此时四边形ABCR为梯形，
∴t=，
3．当AC和BR是梯形的底时，
AC的解析式是y=kx+b，则，
解得：，则解析式是y=-x+4，
设BC的解析式是y=-x+c，则-1+c=0，
解得：c=1，
则函数的解析式是y=-x+1，
进而求出R坐标（，）求出t=．
∴当CR∥AB时，t=，S=，
当AR∥BC时，t=，S=，
当BR∥AC时，t=，S=．