Question

如图，已知矩形ABCD的两条对角线相交于O，∠ACB=30°，AB=2．
（1）求AC的长．
（2）求∠AOB的度数．
（3）以OB、OC为邻边作菱形OBEC，求菱形OBEC的面积．

Answer

（1）根据AB的长结合三角函数的关系可得出AC的长度．
（2）根据矩形的对角线互相平分可得出△OBC为等腰三角形，从而利用外角的知识可得出∠AOB的度数．
（3）分别求出△OBC和△BCE的面积，从而可求出菱形OBEC的面积．
【解析】
（1）在矩形ABCD中，∠ABC=90°，
∴Rt△ABC中，∠ACB=30°，
∴AC=2AB=4．

（2）在矩形ABCD中，
∴AO=OB=2，
又∵AB=2，
∴△AOB是等边三角形，
∴∠AOB=60°．

（3）由勾股定理，得BC=，
．
，
所以菱形OBEC的面积是2．