Question

（1）如图1，已知▱ABCD中，E为AD的中点，CE的延长线交BA的延长线于点F．求证：CD=FA．
（2）如图2，在小山东侧的A庄有一热气球，由于受西风的影响，以每分钟35米的速度沿着与水平方向成75°角的方向飞行，40分钟时到达C处．此时气球上的人发现气球与山顶P点及小山西侧的B庄在一条直线上，同时测得B庄的俯角为30°．又在A庄测得山顶P的仰角为45°．求A庄与B庄的距离及山高．（保留准确值）

Answer

（1）根据平行四边形的性质，-就可证明CD∥AB，∠CDA=∠DAF，又已知DE=AE，∠CED=∠AEF，符合全等三角形的判定中的ASA，即证△CDE≌△AEF，所以CD=AF．
（2）此题要先作AD⊥BC于D，PE⊥AB于E，则先求得AC的长，再求得AD的长、AB的长，然后在△PBA中，利用∠B和∠PAB的值求得PE的长．
【解析】
（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD∥AB．
又∵CE的延长线交BA的延长线于点F，
∴∠CDA=∠DAF．
∵E是AD中点，
∴DE=AE．
∵∠CED=∠AEF，
∴△CDE≌△AEF．
∴CD=AF．
（2）如图，过点A作AD⊥BC，垂足为D，

在Rt△ACD中，∠ACD=75°-30°=45°，
AC=35×40=1400（米），
∴AD=AC•sin45°=700 （米）．
在Rt△ABD中，∠B=30°，
AB=2AD=1400 （米）．
又过点P作PE⊥AB，垂足为E，
则AE=PE•tan45°=PE，
BE=PE•tan60°=PE，
∴PE=1400 ，
∴PE=700（ ）（米）．
答：A庄与B庄的距离是1400 米，山高是700（ ）米．