Question

如图，四边形ABCD为矩形，点C与点D在x轴上，且点A的坐标为（1，3）．已知直线经过A、C两点，抛物线y=ax²+bx经过A、B两点．
（1）求出C点的坐标；
（2）求抛物线的解析式；
（3）若直线MN为抛物线的对称轴，E为x轴上的一个动点，则是否存在以E点为圆心，且同时与直线MN和直线AC都相切的圆？如果存在，请求出⊙E的半径；如果不存在，请说明理由．

Answer

（1）本题需先根据点C在x轴上，得出y=0，再把它代入直线，得出x的值，即可求出C点的坐标．
（2）本题根据C点的坐标和A的坐标，得出B点的坐标，再根据抛物线y=ax2+bx经过A、B两点，求出a、b的值，即可求出解析式．
（3）本题需先判断出存在，再结合图形分两种情况进行讨论，当⊙E与直线MN和直线AC都相切时，设半径为R，再过点E作EF⊥AC，得出EH、EF的长，再由勾股定理得出AC的值，再由已知条件得出△ECF与△GCH相似，即可求出⊙E的半径；再结合图形当在对称轴MN的右侧，同理也可求出R的值．
【解析】
（1）∵点C在x轴上，
∴把y=0代入，
解得：x=5．
∴C点的坐标为（5，0）；

（2）∵C点的坐标为（5，0），A的坐标为（1，3），四边形ABCD为矩形，
∴B点的坐标为（5，3），
∵抛物线y=ax2+bx经过A、B两点．
∴，
解得：；．
∴；

（3）存在．
①如图，⊙E与直线MN和直线AC都相切，设半径为R，过点E作EF⊥AC，垂足为F．则EH=EF=R．
在Rt△ADC中，由勾股定理得，．
依题意得：CH=DH，GH∥AD，
∴；．
∵∠CFE=∠CHG=90°，∠ECF=∠GCH，
∴△ECF∽△GCH，
∴即，
解得：R=3；
②在对称轴MN的右侧，同理可求得：．
综上，符合条件的圆心E有两点，所对应的半径分别是3和．