Question

已知二次函数y=ax²+bx+c的图象与x轴交于点（-2，0）、（x₁，0），且1＜x₁＜2，与y轴的正半轴的交点在（0，2）的下方．下列结论：①4a-2b+c=0；②a-b+c＜0；③2a+c＞0；④2a-b+1＞0．其中正确结论的个数是（ ）个．
A．4个
B．3个
C．2个
D．1个

Answer

根据已知画出图象，把x=-2代入得：4a-2b+c=0，2a+c=2b-2a；把x=-1代入得到a-b+c＞0；根据-＜0，推出a＜0，b＜0，a+c＞b，计算2a+c=2b-2a＞0；代入得到2a-b+1=-c+1＞0，根据结论判断即可．
【解析】
根据二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于点（-2，0）、（x1，0），且1＜x1＜2，与y轴的正半轴的交点在（0，2）的下方，画出图象为：如图
把x=-2代入得：4a-2b+c=0，∴①正确；
把x=-1代入得：y=a-b+c＞0，如图A点，∴②错误；
∵（-2，0）、（x1，0），且1＜x1＜2，
∴取符合条件1＜x1＜2的任何一个x1，-2•x1＜-2，
∴由一元二次方程根与系数的关系知 x1•x2=＜-2，
∴不等式的两边都乘以a（a＜0）得：c＞-2a，
∴2a+c＞0，∴③正确；
④由4a-2b+c=0得 2a-b=-，
而0＜c＜2，∴-1＜-＜0
∴-1＜2a-b＜0
∴2a-b+1＞0，
∴④正确．
所以①③④三项正确．
故选B．