Question

如图，直线y=x+3与坐标轴分别交于A，B两点，抛物线y=ax²+bx-3a经过点A，B，顶点为C，连接CB并延长交x轴于点E，点D与点B关于抛物线的对称轴MN对称．
（1）求抛物线的解析式及顶点C的坐标；
（2）求证：四边形ABCD是直角梯形．

Answer

（1）先根据直线y=x+3求得点A与点B的坐标，然后代入二次函数的解析式求得其解析式，然后求得其顶点坐标即可；
（2）根据B、D关于MN对称，C（-1，4），B（0，3）求得点D的坐标，然后得到AD与BC不平行，∴四边形ABCD是梯形，再根据∠ABC=90°得到四边形ABCD是直角梯形．
（1）【解析】
由y=x+3与坐标轴分别交于A、B两点，易得A点坐标（-3，0）、
B点坐标（0，3）
∵抛物线y=ax2+bx-3a经过A、B两点
∴9a-3b-3a=0a=-1-3a=3得：b=-2
∴抛物线解析式为：y=-x2-2x+3
∴顶点C的坐标为（-1，4）

（2）证明：∵B、D关于MN对称，C（-1，4），B（0，3）
∴D（-2，3）
∵B（0，3），A（-3，0）
∴OA=OB，
∵C（-1，4），B（0，3）
∴直线CB的解析式为：y=-x+3，
∴E（3，0），
∴OB=OE，
∴∠BEO=∠OBE=45°，
又∠AOB=90°
∴∠ABO=∠BAO=45°
∴∠ABE=90°，
∵B、D关于MN对称
∴BD⊥MN
又∵MN⊥X轴
∴BD∥X轴
∴∠DBA=∠BAO=45°
∴∠DBO=∠DBA+∠ABO=45°+45°=90°
∴∠ABC=180°-∠ABE=180°-∠DBO=90°
∴∠CBD=∠ABC-∠ABD=45°
∵CM⊥BD
∴∠MCB=45°
∵B，D关于MN对称
∴∠CDM=∠CBD=45°，CD∥AB
又∵AD与BC不平行
∴四边形ABCD是梯形
∵∠ABC=90°
∴四边形ABCD是直角梯形．