Question

已知抛物线y=x²+4x+m（m为常数）经过点（0，4）
（1）求m的值；
（2）将该抛物线先向右、再向下平移得到另一条抛物线．已知这条平移后的抛物线满足下述两个条件：它的对称轴（设为直线l₂）与平移前的抛物线的对称轴（设为l₁）关于y轴对称；它所对应的函数的最小值为-8．
①试求平移后的抛物线所对应的函数关系式；
②试问在平移后的抛物线上是否存在着点P，使得以3为半径的⊙P既与x轴相切，又与直线l₂相交？若存在，请求出点P的坐标，并求出直线l₂被⊙P所截得的弦AB的长度；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）将（0，4）代入抛物线，得：02+4×0+m=4，解得m=4；
（2）①根据（1）求出的抛物线，可知其对称轴，平移后的抛物线的对称轴与平移前的对称轴关于y轴对称，即可求出新抛物线对称轴，再根据第二个条件，最小值为-8，即可求出平移后的抛物线的关系式；
②该题需要分情况讨论，假设p点存在，且p在x轴上方，根据题意可知，p的纵坐标是3，代入关系式求解，求出p点坐标，在验证该点是否在直线上；若p在y轴下方，则p的纵坐标是-3，代入关系式，求出坐标，再进行检验．
【解析】
（1）依题意得：02+4×0+m=4，解得m=4（3分）

（2）①由（1）得：y=x2+4x+4=（x+2）2，
∴对称轴为直线l1：x=-2（4分）
依题意得平移后的抛物线的对称轴为直线l2：x=2（5分）
故设平移后的抛物线所对应的函数关系式为y=（x-2）2+k（6分）
∵此函数最小值为-8，
∴k=-8
即平移后的抛物线所对应的函数关系式为y=（x-2）2-8=x2-4x-4（7分）
②存在．理由如下：
由①知平移后的抛物线的对称轴为直线l2：x=2
当点P在x轴上方时，∵⊙P与x轴相切，
∴令y=x2-4x-4=3，
解得x=2±（8分）
∵此时点P1（2+，3），P2（2-，3）与直线x=2之距均为，
∴点P1、P2不合题意，应舍去．（9分）
当点P在x轴下方时，
∵⊙P与x轴相切，
∴令y=x2-4x-4=-3，
解得x=2±（10分）
此时点P3（2+，-3），P4（2-，-3）与直线x=2之距均为，
∵＜3，⊙P3、⊙P4均与直线l2：x=2相交，
∴点P3、P4符合题意．（11分）
此时弦AB=2×
综上，点P的坐标为（2+，-3）或（2-，-3），
直线l2被⊙P所截得的弦AB的长为4．（13分）