Question

矩形ABCD中，AB=2，BC=1，以AB为直径的半圆切CD于E，P为CD上的动点（不与C，D重合），连接AP交半圆于F，连接BP，BF，如图1．
（1）当=2时，图1中有几对全等的三角形？将其表示出来；
（2）P点在CD上移动，还有能构成全等三角形的情况吗？若有，请说出还有几次，并在图2中用尺规作出每次构成全等三角形时的图形（不写作法，保留作图痕迹）；若没有，说明理由．

Answer

（1）利用已知首先得出∠FAB=30°，BF=AB=2，进而利用全等三角形的判定，得出△ABF≌△PAD，以及Rt△BPF≌Rt△BPC，
（2）根据①当AB=PB时，△AFB≌△PFB，以及②当AP=PB时，△ADP≌△BCP得出答案．
【解析】
（1）当=2时，图中有两对全等的三角形，分别是△ABF≌△PAD，△BPF≌△BPC；  
∵=2，
∴∠FAB=30°，
∵AB为直径，
∴∠AFB=90°，
∴BF=AB=2，
∵∠DPA=∠PAB，∠ADP=∠AFB，
AD=BF=2，
∴△ABF≌△PAD，
∵BC=BF=2，∠C=∠BFP，PB=PB，
∴Rt△BPF≌Rt△BPC．

（2）还有两次能构成全等三角形的情况．
每次构成全等三角形时的图形如图．
①当AB=PB时，△AFB≌△PFB，
②当AP=PB时，△ADP≌△BCP．